Dziesięć lat wyższych wymiarów

Problemy 11/1992

Unifikacja praw fizyki, wiele wymiarów i teoria strun w artykule Leszka Sokołowskiego podane są w sposób zrozumiały i przystępny. Gorąco polecam wszystkim fascynatom fizyki - szczególnie tej jej najciekawszej strony.
Citronian-Man
----------------------------------------------------------------
      W przeszłości rzadko się zdarzało, by poszukiwania jednolitego opisu fundamentalnych sił przyrody były przez wiele lat skupione wokół jednej wyraźnie określonej idei. W latach 1980-90 wiodącą ideą w badaniach podstawowych była koncepcja zunifikowania oddziaływań cząstek elementarnych za pomocą teorii opisującej świat, który ma więcej niż cztery wymiary. Wysiłki te nie przyniosły dotąd pożądanych wyników, odsłoniły za to wiele nowych zagadnień i są spektakularnym przykładem tego, co Einstein nazwał metodą fizyki teoretycznej.

Aby zrozumieć, co zafascynowało fizyków-teoretyków w minionej dekadzie, zaczniemy od pojęcia wymiaru. Wymiarem przestrzeni (czyli liczbą jej wymiarów) nazywamy liczbę parametrów koniecznych do jednoznacznego zidentyfikowania każdego jej punktu. Do wskazania miejsca, w którym się znajduję, potrzeba trzech liczb: długości i szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziom morza, zatem przestrzeń, w której żyjemy, jest trójwymiarowa (ma 3 wymiary). Z dobrą dokładnością przestrzeń ta jest znaną ze szkolnej matematyki przestrzenią Euklidesa. Własności przestrzeni euklidesowej najwygodniej opisywać za pomocą prostokątnego układu współrzędnych, wprowadzonego przez Kartezjusza w XVII w. Bierzemy trzy osie (prostoliniowe sztywne pręty) wzajemnie prostopadłe, przecinające się w jednym, dowolnie wybranym punkcie 0 (zwanym początkiem układu współrzędnych) i dowolnie zorientowane w przestrzeni (ryc. 1). Układów kartezjańskich jest nieskończenie wiele. Osie układu tradycyjnie oznaczamy x, y i z. Dowolnemu punktowi przypisujemy współrzędne w tym układzie, rzutując go prostopadle na osie, współrzędna x-owa równa jest odległości rzutu P na oś x od 0, podobnie wylicza się współrzędne y-ową i z-ową. Fakt, że wystarczą trzy osie, czyli że każdy punkt identyfikujemy z trójką liczb (x, y, z) w danym układzie, wyrażamy stwierdzeniem, że przestrzeń ma trzy wymiary (dwie współrzędne, np. x i y, określają nie jeden punkt, lecz linię równoległą do osi z_x)

Zjawiska fizyczne opisujemy podając, gdzie zachodzą, jakie siły działają oraz z jakimi prędkościami poruszają się poszczególne ciała. Siła czy prędkość jest wektorem przedstawianym w postaci strzałki, jej długość odpowiada wartości prędkości, a kierunek jest kierunkiem prędkości. Wektory również opisujemy w kartezjańskim układzie współrzędnych. Dany wektor F przesuwamy równolegle tak, by jego początek znalazł się w początku układu 0, wtedy jego koniec jest w Q: współrzędne kartezjańskie punktu

Q nazywamy składowymi wektora F i oznaczamy F_x, F_y i F_z W przestrzeni Euklidesa nie ma większej różnicy między punktem i wektorem. W rzeczywistości różnica ta jest istotna i ujawnia się w przestrzeniach zakrzywionych; dla naszych celów nie ma ona znaczenia.

Przestrzeń fizyczną pojmujemy jako ogół relacji dotyczących wzajemnego rozmieszczenia ciał. Euklides rozpoczyna XI księgę „Elementów" definicją: „bryłą jest, co ma długość, szerokość i grubość". Innymi słowy przestrzeń ma trzy wymiary. Poglądy starożytnych w tej kwestii najpełniej wyraził Klaudiusz Ptolemeusz z Aleksandrii, pisząc cały traktat „Peridiastaseos" (O wymiarze), który niestety zaginął.

Ryc. 1. Współrzędne kartezjańskie punktu są równe
długościom odcinków powstałych wskutek prostopadłego
rzutowania tego punktu na osie układu. Liczba współrzędnych
jest wymiarem przestrzeni. Podobnie konstruuje się składowe
wektora; jest ich tyle, ile wymiarów.

O dziele tym wiemy jedynie z krótkiej notatki neoplatonika Simplikiosa (VI w.), zawartej w jego komentarzach do traktatu „O niebie" Arystotelesa. Warto ją zacytować w całości': „Utalentowany Ptolemeusz w księdze O wymiarze wykazał, że nie ma więcej niż trzy wymiary: bowiem wymiary muszą być określone i określone wymiary są wzdłuż prostopadłych linii prostych, a nie jest możliwe znaleźć więcej niż trzy linie proste ustawione wzajemnie do siebie pod kątami prostymi, dwie z nich wyznaczają płaszczyznę, a trzecia mierzy głębokość; dlatego też, gdyby dodać jeszcze jakiś wymiar poza tymi trzema, to byłby całkowicie niemierzalny i nieokreślony". Twierdzenie, że przestrzeń fizyczna ma trzy wymiary, nosi nazwę prawa Ptolemeusza. Jest ono tak oczywiste, tak rudymentarne dla naszego sposobu widzenia świata, że fizycy najczęściej zapominają w ogóle wymienić je wśród fundamentalnych praw przyrody! A jest ono jedynym uniwersalnym prawem fizyki, które przetrwało od czasów greckich. Reszta fizyki starożytnych (z wyjątkiem elementów mechaniki maszyn prostych i hydrostatyki — Archimedes) rozsypała się na progu ery nowożytnej. Za prawem Ptolemeusza stoi nie tylko bezprecedensowo długa i dostojna tradycja, stoi za nim całość — bez wyjątku — eksperymentów fizyki współczesnej. Paradoksem wydaje się zatem, że w naszym stuleciu niektórzy fizycy zakwestionowali je. Pomysł ten, tylko pozornie — jak zobaczymy dalej — sprzeczny z doświadczeniem, jest zgodny z metodą fizyki teoretycznej.

Nie ma powodów, by w matematyce ograniczać się do przestrzeni o trzech wymiarach. Linia ma wymiar jeden, a płaszczyzna jest dwuwymiarowa. Analogicznie można skonstruować przestrzeń euklidesową n-wymiarową, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną. Z definicji jest to przestrzeń, w której istnieją kartezjańskie układy współrzędnych; każdy z nich ma n osi, zatem w danym układzie punkt utożsamiamy z ciągiem (x_l, X₂,..,X_n) jego współrzędnych, a odległość dwu punktów obliczamy za pomocą ich współrzędnych z twierdzenia Pitagorasa. Wektory w tej przestrzeni mają tyle składowych, ile jest wymiarów, czyli n. Matematycy poszli dalej. Kolejno powstały geometrie nieeuklidesowe (Mikołaj Łobaczewski 1826-30), Janos Bolyai 1832), potem Bernhard Riemann wprowadził w 1854 r. ogólne n-wymiarowe przestrzenie zakrzywione, będące uogólnieniem na dowolną liczbę wymiarów zwykłych powierzchni, takich jak sfera, torus czy hiperboloida; wreszcie pod koniec XIX w. pracach Riemanna i Poincarego narodziła się topologia, w której przestrzeń jest obiektem abstrakcyjnym, zwykle bardzo odległym od intuicji geometrycznej. W tych dziwacznych „nie- geometrycznych" przestrzeniach nie ma kartezjańs- kich układów współrzędnych, czy da się więc określić ich wymiar? Zadanie okazało się tak trudne, że wielki Henri Poincare (1854-1912) nie dał mu rady.

Wskazówki, gdzie szukać topologicznej definicji wymiaru, mamy już u Euklidesa, który pisze: „linii końce, czyli granice, są punktami" (1.2), „powierzchni końcami, czyli granicami, są linie" (1.6) oraz „granicami bryły są powierzchnie" (XI.2). Przełożenie tych pozornie banalnych spostrzeżeń na precyzyjny język topologii wymagało wielu lat pracy wybitnych matematyków. W latach 1910-50 Holender Luitzen Brouwer, Francuz Henri Lebesque, Rosjanin Paweł Urysohn, Niemiec Karl Menger i Czech Eduard Cech sformułowali podstawy teorii wymiaru. Zdaniem wielu matematyków problemy dotyczące wymiaru należą do najważniejszych nie tylko w topologii, lecz w całej matematyce. Topologiczna definicja wymiaru jest trudna; złożona i dla bardzo ogólnych przestrzeni — niejednoznaczna. Ważnym i niebanalnym faktem jest to, że dla przestrzeni euklidesowych definicja ta sprowadza się do zwykłego opisu za pomocą współrzędnych.

Jeszcze na początku naszego wieku panowało przekonanie, że przestrzeń fizyczna jest dokładnie euklidesowa. Pogląd ten odrzucił Einstein w ogłoszonej w 1915 r. ogólnej teorii względności, utożsamiającej siły ciążenia z krzywizną czasu i przestrzeni. Według niego fizyczna przestrzeń jest przestrzenią Riemanna, czyli trójwymiarowym analogonem dowolnie zakrzywionej dwuwymiarowej powierzchni w przestrzeni Euklidesa. Teoria grawitacji Einsteina jest doświadczalnie dobrze potwierdzona i wynikająca z niej identyfikacja przestrzeni fizycznej z trójwymiarową przestrzenią Riemanna jest dziś powszechnie przyjęta. Pozwala ona odpowiedzieć na pytanie, które dotąd nie zostało rozstrzygnięte w eksperymencie. Prawo Ptolemeusza bez wątpienia jest słuszne w obrębie Układu Słonecznego. A co dalej? Czy przestrzeń wokół galaktyk oddalonych o setki milionów lat świetlnych jest też trójwymiarowa? Aktualne doświadczenia z cząstkami elementarnymi nie sięgają na odległości dużo mniejsze niż promień protonu, nie wiemy więc, jaki wymiar ma przestrzeń w tak małych obszarach. Jeżeli ogólna teoria względności jest słuszna zarówno dla największych odległości (w co mało kto wątpi), jak i dla najmniejszych (tutaj trzeba być ostrożnym — kwantowa grawitacja może wprowadzić radykalne zmiany), to twierdzimy, że przestrzeń ma trzy wymiary wszędzie — w najdalszych galaktykach i w obszarach miliony razy mniejszych od protonu.

Zgodnie z topologiczną definicją wymiaru i teorią grawitacji Einsteina, wymiar przestrzeni jest jedną z podstawowych jej charakterystyk, toteż liczba trzy —           wymiar przestrzeni fizycznej — jest najważniejszą liczbą opisującą świat, w którym żyjemy. Nie jest to wcale twierdzenie banalne. Zauważmy bowiem, że drugą obok prawa Ptolemeusza oczywistością, z którą mamy stale do czynienia w życiu codziennym i technice, jest rozróżnienie między kierunkami pionu i poziomu. Nie wątpimy w praktyczną doniosłość tego rozróżnienia, a przecież nie kryje się za nim nic fundamentalnego. Kierunek pionu jest tylko lokalnym kierunkiem do środka Ziemi i zmienia się zależnie od miejsca, w którym jesteśmy. Z dala od ciał ciężkich (planety, gwiazdy) pojęcia pionu i poziomu tracą sens. Doniosłość prawa Ptolemeusza wynika nie z jego praktycznej użyteczności, lecz z rangi, jakiej pojęciu wymiaru nadaje matematyka.

Cała historia fizyki to dzieje wysiłków, by nieprzeliczoną rozmaitość zjawisk przyrody wyprowadzić z możliwie najmniejszej liczby praw uniwersalnych, z kilku, a w końcowym etapie z jednego, najbardziej fundamentalnego. Zaczęło się od Newtona, który wprowadzając zasady dynamiki i prawo powszechnego ciążenia, obowiązujące jednakowo ciała niebieskie i przedmioty ziemskie, odrzucił arystotelesowski podział na fizykę świata translunarnego i świata sublunarnego. Przez następne trzy stulecia proces unifikacji przebiegał nieprzerwanie, mimo że fizycy wielokrotnie wchodzili w ślepe zaułki; najsłynniejsze były tu trwające trzydzieści lat i całkowicie bezskuteczne próby skonstruowania jednolitej teorii pola grawitacyjnego i elektromagnetycznego, podejmowane przez Einsteina. Chyba najbardziej pomysłową ideą unifikacji oddziaływań cząstek elementarnych była idea połączenia ich nie w naszym trójwymiarowym świecie, lecz w przestrzeni o większej liczbie wymiarów.

Co ma wymiar do unifikacji? Wyjaśnimy to na przykładzie pierwszej i jak dotąd jedynej udanej unifikacji za pomocą wyższych wymiarów. Jej owocem jest elektrodynamika, czyli teoria zjawisk elektromagnetycznych. Mamy zjawiska elektryczne i magnetyczne, najwygodniej opisywać je wprowadzając pola elektryczne i magnetyczne. W każdym punkcie przestrzeni mamy zatem określone dwa wektory: natężenia pola elektrycznego E i magnetycznego H. Wiemy też, że pola te są ze sobą dynamicznie związane. Oprócz indukcji elektromagnetycznej (Michael Faraday, 1831), w której zmienne pole magnetyczne wzbudza pole elektryczne, mamy proces odwrotny: zmienne pole elektryczne wzbudza pole magnetyczne. Najbardziej dobitnym przejawem wzajemnego wzbudzania obu pól są fale elektromagnetyczne (Heinrich Hertz, 1886). Nie ma więc sensu mówić o dwu odrębnych polach — fizycznie istnieje jedno pole elektromagnetyczne, które w pewnych zjawiskach przejawia się jako pole elektryczne, a w innych jako magnetyczne. Zarazem pole to opisujemy za pomocą dwu matematycznie niezależnych wielkości — wektorów E i H. Unifikacja polega na tym, że pole to opiszemy jedną wielkością. W przestrzeni trójwymiarowej jest to niemożliwe: nie istnieje żaden pojedynczy wektor (ani inny obiekt matematyczny), który wyrażałby własności tego pola, czyli zastępował oba te wektory. Dzieje się tak dlatego, że dotąd braliśmy pod uwagę tylko zależność przestrzenną pól E i H. Gdy uwzględnimy zależność pola elektromagnetycznego od czasu, unifikacja staje się możliwa.

Każde zdarzenie określamy podając miejsce i moment zajścia. Czas jest więc jakby czwartą współrzędną i wraz z przestrzenią fizyczną tworzy cztero- wymiarową przestrzeń, zwaną czasoprzestrzenią. Do końca XIX w. fizycy i filozofowie zgodnie twierdzili, że jest to konstrukcja formalna i sztuczna; uważano, że czas jest czymś istotnie odmiennym od przestrzeni i nie można go na trwałe z nią kojarzyć. Dopiero rok 1905, ów annus mirabilis, jak go później nazwali historycy nauki, obalił te poglądy. Istotą szczególnej teorii względności jest nadanie fizycznej realności czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Tak jak pola elektryczne i magnetyczne są dwoma aspektami jednego obiektu fizycznego — pola elektromagnetycznego, tak czas i przestrzeń są przejawami jednego bytu — czasoprzestrzeni. Czas jest naprawdę czwartą współrzędną fizycznego tworu, jakim jest czasoprzestrzeń. Historycznie rzecz biorąc, w artykule Einsteina z 1905 r. zawarta jest tylko fizyczna treść idei czasoprzestrzeni. Matematycznie kompletny opis czasoprzestrzeni sformułowany został niebawem w 1908 r., przez matematyka z Getyngi, Hermana Minkowskiego. Na jego cześć czasoprzestrzeń ta zwana jest przestrzenią Minkowskiego.

Pole elektromagnetyczne opisane jest w czasie i przestrzeni za pomocą sześciu funkcji czterech zmiennych x, y, z i t. W czterowymiarowej czasoprzestrzeni funkcje te tworzą zespół składowych jednego obiektu matematycznego przedstawiającego to pole — tzw. tensora natężenia pola elektromagnetycznego. Tensory są obiektami blisko spokrewnionymi z wektorami. Ich definicja jest dość abstrakcyjna i w odróżnieniu od wektorów, które dają się zobrazować w postaci strzałki, nie mają prostej interpretacji geometrycznej (użycie tensorów nie jest cechą wyróżniającą świat czterowymiarowy. Pojęcie to wprowadzono dla potrzeb mechaniki ośrodków rozciągłych: w teorii sprężystości tensor deformacji opisuje odkształcenia bryły elastycznej pod działaniem sił zewnętrznych, a w hydrodynamice tensor napięć określa rozkład ciśnień w płynącej cieczy).

Niepoglądowość tensora nie stanowi dla fizyków większej trudności. Ważne jest, że daje jednolity opis elektryczności i magnetyzmu: jeden obiekt matematyczny, tensor natężenia pola, przedstawia jeden obiekt fizyczny. Istotne jest, że tensor ten określony jest w czasoprzestrzeni, a nie w samej przestrzeni. Gdy w czasoprzestrzeni wybierzemy pewien inercjalny układ odniesienia, to sześć składowych tensora natężenia pola można w nim zidentyfikować jako składowe wektorów E i H. Przypisanie poszczególnych składowych tensora do wektorów zależy od układu odniesienia. Jeżeli przejdziemy do innego układu odniesienia, przyporządkowanie to zmieni się: pola elektryczne i magnetyczne zmienią kierunek i wartość (długość wektora). Relatywistyczny, czyli zgodny ze szczególną teorią względności opis pola elektromagnetycznego powinien być niezależny od wyboru inercjalnego układu odniesienia. Do tego nadaje się jedynie tensor natężenia tego pola, on zatem jest pojęciem fundamentalnym, a nie wektory E i H.

Powstanie elektrodynamiki, zunifikowanej teorii sił elektrycznych i magnetycznych, dzięki przejściu od trzech do czterech wymiarów wywarło silne wrażenie na ówczesnych i zainspirowało próby pójścia dalej tą drogą. Już na początku tego wieku fizycy doszli do wniosku (głównie dzięki Einsteinowi), że fundamentalne siły przyrody to pola fizyczne opisywane rozmaitymi wektorami i tensorami. Im więcej wymiarów ma przestrzeń, tym więcej składowych mają w niej wektory (tyle, ile jest wymiarów) i tensory, zatem kilka tensorów opisujących różne pola fizyczne w czterowymiarowej czasoprzestrzeni można by oklejać" w jeden tensor w wielowymiarowej czasoprzestrzeni. To właśnie jest istotą idei unifikacji za pomocą wyższych wymiarów. Oczywiście unifikacja nie kończy się na tym, nie wystarczy sprawdzić, czy liczba składowych „unifikującego" tensora w n wymiarach równa jest łącznej liczbie składowych unifikowanych pól w czterech wymiarach. Jądro trudności tkwi w tym, by skonstruować sensowną teorię dynamiczną (na wzór np. elektrodynamiki czy ogólnej teorii względności) dla unifikującego pola w n wymiarach i aby z niej w sposób logiczny i jednoznaczny wynikały teorie dla poszczególnych pól w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Badania w tym kierunku trwają już trzy czwarte wieku i pomimo zaangażowania się w nie najwybitniejszych fizyków, którzy wymyślali coraz bardziej pomysłowe teorie, wyniki są wciąż niezadowalające.

Pierwszą próbę podjął już w 1914 r. znany fizyk fiński Gunnar Nordstrom. Usiłował on połączyć w jedno pole te oddziaływania elementarne, które wówczas znano, czyli grawitację i elektromagnetyzm. Do tego celu potrzebował polowej i relatywistycznej teorii grawitacji (w owym czasie nadal stosowano teorię Newtona, według której siły ciążenia nie są przenoszone przez fizyczne pole, ale działają natychmiastowo na odległość). Nordstrom opracował taką teorię. Pomysł, chociaż całkowicie chybiony, jest na tyle prosty, że pozwala zrozumieć metodę unifikacji.

Z fizyki szkolnej wiemy, że pole elektrostatyczne i pole ciążenia najwygodniej opisywać nie wektorem natężenia, lecz funkcją, zwaną potencjałem. Potencjał istnieje również dla dowolnego pola elektromagnetycznego, z tym że jest on dany nie jedną, lecz zespołem czterech funkcji, które w czasoprzestrzeni są składowymi wektora, zwanego czterowektorem potencjału (wektory w przestrzeni Minkowskiego nazywamy czterowektorami). Potencjał elektromagnetyczny nie ma bezpośredniego sensu fizycznego (nie jest mierzalny w doświadczeniu), za to da się z niego skonstruować w sposób jednoznaczny wielkość mierzalną — tensor natężenia pola. Nordstrom przyjął, że teoria grawitacji jest podobna do elektrodynamiki, tyle że prostsza: pole ciążenia opisane jest potencjałem złożonym z jednej funkcji, która spełnia równanie podobne do tych, jakim podlega potencjał elektromagnetyczny (równań Maxwella). Następnie zaproponował, by wziąć przestrzeń pięciowymiarową (czas i cztery wymiary przestrzenne) i w niej rozważać pole elektromagnetyczne opisane pięciowektorem potencjału. Piątą składową potencjału utożsamił z potencjałem grawitacyjnym pola ciążenia w czterech wymiarach (w pięciowymiarowej czasoprzestrzeni grawitacji nie ma). Z punktu widzenia naszego czterowymiarowego świata ta pięciowymiarowa elektrodynamika rozszczepia się na zwykłą elektrodynamikę i teorię grawitacji Nordstróma. Unifikacja obu pól została dokonana. Nordstrom nie wyjaśnił jednak, jaki sens ma piąty wymiar i dlaczego świat postrzegamy jako czterowymiarowy.

W tym czasie Einstein kończył konstruowanie ogólnej teorii względności, teorii grawitacji bez porównania doskonalszej od teorii Nordstróma. Pomysły tego ostatniego zlekceważył zupełnie (podobno ich stosunki osobiste nie były najlepsze); w rezultacie praca Nordstróma została na kilkadziesiąt lat zapomniana.

Możemy teraz uściślić to, co powiedzieliśmy wcześniej. Według teorii grawitacji Einsteina, czas i przestrzeń tworzą jeden obiekt fizyczny, czasoprzestrzeń, która jest czterowymiarową zakrzywioną przestrzenią Riemanna (ryc. 2). Krzywizna czasoprzestrzeni jest miarą sił ciążenia: im większa krzywizna, tym silniejsze pole ciążenia, płaska czasoprzestrzeń oznacza brak grawitacji. Trzeba dodać, że krzywizna przestrzeni jest jej cechą wewnętrzną. Nie należy wyobrażać sobie, że zakrzywiona czasoprzestrzeń jest czterowymiarową „powierzchnią" zanurzoną w innej, więcej-wymiarowej przestrzeni (np. euklidesowej). Przestrzeń zanurzająca jest zbędna i nie ma sensu fizycznego.

Ryc. 2. Czasoprzestrzeń według teorii Einsteina.
Przedstawiamy tu ważny dla kosmologii zamknięty
wszechświat Friedmana. Dwa wymiary przestrzenne zostały
pominięte. Przestrzeń jest zamknięta i zobrazowana w
postaci okręgu. Czasoprzestrzeń ma wtedy kształt lejka.
Wierzchołek lejka jest „osobliwością": cała przestrzeń
jest skurczona do punktu. Przestrzeń „wybucha" z
osobliwości (Big Bang), od której zaczynamy rachubę
czasu (początek wszechświata). Przestrzeń rozszerza się
z upływem czasu, bowiem promień okręgu w chwili t2 jest
większy od promienia w chwili t,. Nazywamy to ekspansją
wszechświata. Zakrzywienie lejka jest największe przy
wierzchołku, czyli zaraz po Big Bangu; z czasem lejek
wypłaszcza się i upodabnia do stożka.

Ogólna teoria względności szybko zdobyła uznanie i sławę. W kwietniu 1919 r. matematyk z Królewca, Theodor Franz Eduard Kaluza, przesłał Einsteinowi projekt unifikacji einsteinowskiej grawitacji z elektrodynamiką w świecie pięciowymiarowym. Praca Nordstróma była już zapomniana i powszechnie uznano Kaluzę za twórcę idei świata wielowymiarowego; trzeba przyznać, że pomysł Kaluzy był dużo lepszy i jego praca zawierała większość koncepcji, które później rozwinięto. Einstein odniósł się życzliwie do samej idei, zarazem miał zastrzeżenia do sposobu jej prezentacji. Po dłuższych wahaniach i kilkukrotnej wymianie listów przedstawił ją Pruskiej Akademii Nauk i artykuł Kaluzy ukazał się w Sprawozdaniach Akademii w 1921 r. (w latach osiemdziesiątych praca ta stała się bardzo sławna i niemal każdy autor piszący o świecie wielowymiarowym czuł się zobowiązany ją zacytować. Zarazem niemal nikomu nie chciało się zajrzeć do oryginału i odnośnik do niego przepisywano z artykułów współczesnych. W jednej z wcześniejszych prac zrobiono błąd drukarski w odsyłaczu (w rezultacie komiczną pomyłkę powielono setki razy).

W pięć lat później Szwed Oskar Klein rozwinął i zmodyfikował koncepcje Kaluzy (do podobnych wniosków doszedł niezależnie w tym samym czasie H. Mandel z Petersburga); odtąd przyjęło się wszystkie sposoby unifikacji pól fizycznych za pomocą wyższych wymiarów nazywać teoriami Kaluzy-Klejna (sława Kaluzy sprawiła, że w Polsce jego nazwisko pisano „Kałuża". Sam Kaluza był świadom swego słowiańskiego rodowodu i swoje nazwisko wymawiał nie po niemiecku — „Kaluza". Od 1935 r. do śmierci w roku 1954 był profesorem matematyki w Getyndze. Nie ma podstaw do tego, by dopatrywać się w nim Polaka).

Według Kaluzy i Kleina czasoprzestrzeń ma pięć wymiarów i jest zakrzywiona. Przestrzeń jest cztero- wymiarowa i przypomina powierzchnię cylindra (ryc. 3). Linia na powierzchni równoległa do osi walca reprezentuje zwykłe trzy wymiary, natomiast okrąg prostopadły do osi to czwarty wymiar. Założenie, że w czwartym wymiarze przestrzeń zamyka się w okrąg, jest bardzo ważne. Krzywizna czasoprzestrzeni oznacza, że mamy w niej pole grawitacyjne. Dodajmy bowiem, że ogólna teoria względności może być słuszna w przestrzeni Riemanna o dowolnym wymiarze i teza, że wymiar wynosi cztery, jest postulatem zaczerpniętym z doświadczenia; postulat ten wolno zastąpić innym, głoszącym, że jest pięć lub więcej wymiarów. W pięciu wymiarach jest tylko grawitacja, nie ma innych sił. Korzystając z faktu, że piąty wymiar jest okręgiem, Kaluza i Klein wykazali, że z punktu widzenia czterowymiarowego świata „zewnętrznego" pięciowymiarowa grawitacja einsteinowska rozszczepia się na zwykłą grawitację i teorię elektromagnetyzmu. Przechodząc od pięciu wymiarów do czterech, kreujemy z grawitacji pole elektromagnetyczne! Powtórzmy: w pięciu wymiarach jest materia, która oddziałuje tylko grawitacyjnie, nie ma ładunków elektrycznych ani światła. Gdy zmniejszymy liczbę wymiarów, pojawi się nowe oddziaływanie, bowiem materia otrzymuje ładunki elektryczne. „I stała się światłość..."

Ryc. 3. Czterowymiarowa przestrzeń ma kształt cylindrycznej
rury. Czas nie jest zaznaczony. Każda linia na rurze
równoległa do osi przedstawia zwykłe trzy wymiary, zwane
„przestrzenią zewnętrzną". Przekrój rury prostopadle do osi
daje okrąg, czyli w czwartym wymiarze przestrzeń zwija się
w okrąg. Dodatkowe wymiary przestrzeni nazywamy
„przestrzenią wewnętrzną", jest ona zawsze zamknięta i ma
znikomy rozmiar. W najprostszej wersji teorii Kaluzy-Kleina
przestrzeń wewnętrzna jest okręgiem. Gdy rozmiar ciała jest
większy od promienia okręgu, może się ono poruszać tylko
równolegle do osi, zas okrąg przestaje dla niego praktycznie
istnieć. Dla ciał odpowiednio dużych przestrzeń jest zawsze
efektywnie trójwymiarowa.

Klein miał nadzieję, że piąty wymiar ma coś wspólnego z efektami kwantowymi, których istnienia wymagała powstająca w tym czasie mechanika kwantowa. Georg Uhlenbeck, odkrywca (wraz z S. Goudsmitem) spinu elektronu, wspominał po latach: „Pamiętam, że wiosną 1926 r., gdy Oskar Klein powiedział nam o swej idei unifikacji..., która ponadto uwzględniała teorię kwantów, wpadłem w zachwyt! Teraz rozumiemy świat!".

W rzeczywistości zachwyceni byli nieliczni. Ogół fizyków pasjonował się mechaniką kwantową, która wspaniale objaśniała nieprzebrane mnóstwo zjawisk świata atomowego. Teoria Kaluzy-Kleina miała dwie wady. Nadzieja, by piąty wymiar związać z teorią kwantów, szybko upadła (z tego właśnie powodu Einstein, który kilka razy przekonywał się i zniechęcał do tej teorii, ostatecznie zarzucił ją po 1940 r.). Interpretacja fizyczna piątego wymiaru była niejasna. Jeszcze szybciej okazało się, że tego wymiaru nie da się utożsamić z którąkolwiek ze znanych wielkości fizycznych (tak jak czwarty wymiar utożsamiono z czasem). Jeżeli wymiar ten ma sens wyłącznie geometryczny, jak pozostałe trzy przestrzenne, to czemu go nie widać? Większość badaczy z okresu międzywojennego przyjmowała więc, że piąty wymiar jest trickiem matematycznym, a nie wielkością mierzalną. Z dzisiejszego punktu widzenia pozbawiało to teorię Kaluzy-Kleina treści fizycznej i zamieniało ją w doktrynę filozoficzną.

Po drugie, unifikacja w stylu Kaluzy-Kleina miała wyłącznie walory estetyczne. Nie wynikało z niej nic nowego, czego nie znalibyśmy już z ogólnej teorii względności i elektrodynamiki. Przypomnijmy, że unifikacja elektryczności z magnetyzmem zaowocowała przewidzeniem istnienia fal elektromagnetycznych, a więc wyjaśniła, czym jest światło. Teoria Kaluzy-Kleina nie dawała żadnych prognoz.

Przed ponad pół wieku istnienia teoria Kaluzy- -Kleina tkwiła na dalekich peryferiach fizyki teoretycznej, przyćmiona sukcesami fizyki kwantowej. Powszechnie uznano ją za ideę fałszywą. Tymczasem jej wielkie dni miały dopiero nadejść.

W połowie naszego wieku stało się jasne, że istnieją cztery, a nie dwa rodzaje sił fundamentalnych. Oprócz grawitacyjnych i elektromagnetycznych są to oddziaływania silne, wiążące protony i neutrony w jądra atomowe oraz oddziaływania słabe, odpowiedzialne za rozpady nietrwałych cząstek elementarnych. Przez długi czas opis teoretyczny tych nowych sił był marny. Sytuacja zmieniła się pod koniec lat sześćdziesiątych. Powstaje wtedy jednolita teoria oddziaływań elektromagnetycznych i słabych, zwana modelem Weinberga-Salama sił elektrosłabych. Idea, którą się ci badacze posłużyli, tzw. pola cechowania, jest na tyle ogólna, że od razu nasunęła się myśl, by zastosować ją do sił jądrowych. Pomysł okazał się sukcesem i od połowy lat siedemdziesiątych dysponujemy zadowalającą teorią tych sił, zwaną chromodynamiką kwantową. Podobieństwo obu teorii jest tak uderzające, że stara, przez dziesięciolecia lekceważona idea Einsteina, by zunifikować oddziaływania fundamentalne, ożyła z wielką siłą. W latach 1978 — 79 opracowana zostaje „wielka unifikacja" oddziaływań elektrosłabych z silnymi. Ku powszechnemu zaskoczeniu, po raz trzeci sukcesu na tej samej drodze odnieść się nie udało. „Wielka unifikacja" nie potwierdziła się w doświadczeniu. Pozostała za to wiara w sensowność unifikacji. Fizycy uznali, że musi ona obejmować wszystkie siły fundamentalne, z grawitacją włącznie, i że dokonać jej trzeba metodami bardziej wyrafinowanymi. I wtedy na scenę weszły nowoczesne teorie Kaluzy-Kleina.

Pomimo złej reputacji badania teorii wielowymiarowych nigdy nie zamarły. Wyjaśniła się kwestia fizycznego sensu piątego wymiaru (i ewentualnych wyższych). Według nowoczesnej fizyki nie istnieją obiekty dokładnie punktowe, nawet cząstki elementarne mają małe, lecz różne od zera rozmiary. Spójrzmy na ryc. 3. Aby wykryć „wewnętrzny okrąg", trzeba albo metodą Ptolemeusza ustawić wzdłuż niego sztywny pręt, albo poruszać się po nim. Będzie to niemożliwe, jeżeli okrąg będzie bardzo mały, mniejszy od cząstek elementarnych. Wówczas „przestrzenna rurka" praktycznie przestanie być rurką i stanie się „linią", czyli efektywnie utraci jeden wymiar i dla ciał fizycznych dostępne będą tylko trzy wymiary. Jeżeli promień rurki jest bliski długości Plancka, 10 ~ 33 cm, to nie można poruszać się w poprzek rurki, a tylko wzdłuż niej, zatem dodatkowy wymiar jest niewidzialny i prawo Ptolemeusza jako prawo czysto empiryczne zachowuje swą moc (dodajmy dla ścisłości, że wymiar „wewnętrzny" nie jest absolutnie niewidzialny. Mogą się w nim poruszać fotony mające gigantyczną energię, nieosiągalną przy obecnym poziomie techniki. Zatem wewnętrzny wymiar w zasadzie jest wykrywalny, jeżeli istnieje, i to jest konkretnym przewidywaniem teorii Kaluzy-Kleina, tyle że nieprędko będziemy w stanie wykonać odpowiedni eksperyment). Mamy więc zgodność z doświadczeniem, a zarazem fizycznie istniejący dodatkowy wymiar zapewnia unifikację.

W 1963 r. Bryce De Witt z Uniwersytetu Północnej Karoliny zauważył, że jeśli unifikacja ma objąć oddziaływania silne i słabe, to piąty wymiar nie wystarczy i potrzeba więcej ukrytych wewnętrznych wymiarów; otworzyło to nowe perspektywy dla teorii. Warto tu wspomnieć o udziale polskich badaczy. W 1965 r. Jerzy Rayski z Uniwersytetu Jagiellońskiego badał pewną wersję teorii pięciowymiarowej, a Ryszard Kerner i Andrzej Trautman z Uniwersytetu Warszawskiego zainicjowali w latach 1968-70 badania matematycznej struktury teorii wielowymiarowej. W latach siedemdziesiątych coraz więcej fizyków zajmowało się teorią Kaluzy-Kleina i nastąpił wyraźny postęp.

Lata 1980-90 można bez przesady uznać za dekadę wyższych wymiarów. Zapoczątkowały ją dwie ważne prace. Edward Witten z Uniwersytetu w Princeton wykazał, że realistyczna unifikacja, łącząca einsteinowską grawitację z teorią oddziaływań elektrosłabych i chromodynamiką kwantową, wymaga siedmiu wymiarów wewnętrznych, czyli czasoprzestrzeń ma aż jedenaście wymiarów. Liczba 11, skądinąd nieciekawa liczba pierwsza, nabrała nagle fundamentalnego znaczenia. Peter Freund i Mark Rubin z Uniwersytetu Chicago udowodnili, że jedenastowymiarowa teoria rzeczywiście dopuszcza sytuację, gdzie siedem wymiarów dodatkowych zamyka się tworząc przestrzeń wewnętrzną o małym rozmiarze podobną do siedmiowymiarowej sfery. Teraz runęła lawina prac. W 1984 r. nastąpił doniosły zwrot: okazało się, że w przestrzeniach wielowymiarowych zamiast teorii Kaluzy-Kleina lepiej jest rozpatrywać egzotyczne, nieznane w naszym świecie obiekty, zwane super- strunami. Zapanował entuzjazm, na konferencjach rozlegały się autorytatywne głosy, że oto rodzi się „ogólna teoria wszystkiego" i fizyka dobiega końca. Entuzjazm był jednak przedwczesny.

Słońce rzadko świeci w wyższych wymiarach. W drugiej połowie dekady teorie superstrun, podobnie jak nieco wcześniej teorie Kaluzy-Kleina, napotkały nieprzezwyciężone trudności. Nie sposób przedstawić je zrozumiałe dla laika. Powiemy tylko, że teorie wielowymiarowe albo nie potrafiły prawidłowo odtworzyć cząstek elementarnych takich, jakie znamy z doświadczenia, albo dawały przewidywania tak ogólne, że świat realny okazywał się tylko jedną z miliardów możliwości i nie było teoretycznych podstaw, by go właśnie wyróżnić. Od 1987 r. nadzieje malały, a rozczarowanie rosło. Koniec dekady lat osiemdziesiątych można też uznać umownie za koniec nadziei na stworzenie jednolitej teorii cząstek elementarnych za pomocą świata wielowymiarowego.

Mamy rok 1992. Nadal ukazują się prace o światach wielowymiarowych. Nikt bowiem nie udowodnił, że ta droga do unifikacji jest definitywnie zamknięta. Jeżeli więc nie pojawi się nowy, całkiem odmienny pomysł, jak do niej dojść, to pewna liczba fizyków będzie nadal poszukiwać sposobów obejścia trudności i zbudowania jednolitej teorii w przestrzeni o więcej niż czterech wymiarach. Zbyt wiele pięknych wyników uzyskali fizycy w teoriach Kaluzy-Kleina i superstrun, by zgodzili się je porzucić, nie mając w zamian innej, atrakcyjniejszej idei. Możliwości jest tu nadal wiele, potrzeba tylko wyobraźni i intuicji. Światy wielowymiarowe odchodzą jednak tymczasem na peryferie fizyki.

Nauka nowożytna zaczęła się od odrzucenia geocentrycznego systemu Ptolemeusza. Przed kilku laty wydawało się, że druga, choć mniejsza od kopernikańskiej rewolucja w fizyce zacznie się od zakwestionowania prawa Ptolemeusza, Wprawdzie nadzieja ta jak dotąd nie sprawdziła się, nasuwa się refleksja, że nauka dwudziestowieczna ma nieoczekiwane powiązania z pewnymi postaciami z przeszłości.

Jakkolwiek potoczy się rozwój fizyki, jedno jest pewne, problematyka wymiaru czasoprzestrzeni stała się obecnie nieusuwalnym przedmiotem badań. Dlaczego bowiem prawo Ptolemeusza obowiązuje? Dlaczego przestrzeń ma trzy, a nie pięć czy sto wymiarów? Wszystkie dotychczasowe wytłumaczenia go są nieprzekonujące dla fizyka, są to próby usprawiedliwiania ex post zaistniałego faktu. Przyszła jednolita teoria cząstek elementarnych i ich oddziaływań powinna wyprowadzić prawo Ptolemeusza z zasad pierwszych. I w tym sensie trwające niemal cały nasz wiek badania fizyki przestrzeni wielowymiarowych nie poszły na marne.   

Autor - Leszek M. Sokołowski

Ważne linki dotyczące autora:
Leszek M. Sokołowski - Elementy kosmologii: dla nauczycieli, studentów i dociekliwych uczniów
Leszek M. Sokołowski - Elementy analizy tensorowej

Literatura uzupełniająca:
Lisa Randall - Ukryte wymiary Wszechświata
 
Multimedia:
Ukryte wymiary i teoria strun
Jak wyobrazić sobie pięć wymiarów

Zachęcamy do dyskusji na temat podanych w artykule treści
oraz wklejania linków do materiałów multimedialnych.
Redakcja