Rekreacje Matematyczne - Synchronizacja Błysków Świetlików

Świat Nauki 05/1999

Czy świetliki potrafią całkować? Czy synchronizacja błysków tysięcy tych owadów jest zjawiskiem łatwym czy niemal niemożliwym do osiągnięcia? Ian Steward w fascynujący sposób odpowiada na te i inne pytania.
Gorąco polecam.
Citronian-Man
----------------------------------------------------------------
      Jedno z najbardziej spektakularnych zjawisk przyrody można zaobserwować tuż po zachodzie słońca w Azji południowo-wschodniej. W roku 1935 amerykański biolog Hugh M. Smith napisał:
„Wyobraź sobie drzewo wysokości około 12 m [...], na którego każdym liściu najwidoczniej siedzi świetlik; wszystkie świetliki błyskają doskonale zgodnie trzy razy w ciągu około dwóch sekund - pomiędzy błyskami drzewo pogrąża się w całkowitej ciemności. [...] Wyobraź sobie prawie 200 m brzegu rzeki porośniętego namorzynami, z świetlikami na wszystkich liściach - owady na obu końcach tej linii błyskają jednocześnie z tymi w środku. Jeśli ktoś ma wystarczająco żywą wyobraźnię, może sobie wyrobić pewne pojęcie o tym zdumiewającym spektaklu”

Dlaczego błyski się synchronizują? Jedna z teorii wskazuje na ewolucję jako przyczynę. Błyski są wytwarzane tylko przez samce, a służą do przywabienia samic. Zsynchronizowane powinny przyciągać samice z większej odległości, szczególnie w rejonach z gęstą roślinnością, czyli takich jak południowo-wschodnia Azja. A jaka jest przyczyna matematyczna?

Do wytwarzania błysków świetliki wykorzystują specjalną substancję chemiczną. Mają spory jej zapas, ale wydzielają w małych dawkach, zgodnie z cyklem „gotowości". Wygląda to tak, jakby świetlik zaraz po błyśnięciu zaczynał miarowo odliczać od zera i po dojściu do 100 znowu błyskał. Można powiedzieć, że jego aktualny stan gotowości - liczba, która właśnie osiągnął - jest fazą tego cyklu.

Z punktu widzenia matematyki owad jest oscylatorem - mechanizmem, zmuszanym przez naturalną dynamikę do ciągłego powtarzania tych samych czynności. Oscylatory są źródłem zjawisk okresowych, powszechnych - i ważnych - w biologii. W takich dostosowanych do potrzeb organizmu cyklach pracują ludzkie serca i płuca.

Dlaczego układ oscyluje? Ponieważ jest to najprostsza rzecz, jaką można robić, gdy się nie chce lub nie może spoczywać w bezruchu. Weźmy pod uwagę choćby tygrysa, który chodzi w klatce tam i z powrotem. Fizyka dostarcza analogii: drgająca struna skrzypiec. Wytrącona ze stanu równowagi nie może pozostawać w spoczynku. Nie porusza się jednak w sposób dowolny, ponieważ jej końce są nieruchome - drga więc okresowo rozpięta pomiędzy dwoma punktami zaczepienia.

Po lewej:

GRA FLASH jest przybliżeniem zachowania świetlików: w przedstawionym ciągu konfiguracji ułożonym od lewej do prawej i z góry w dół trzy świetliki (kolorowe kropki) poruszają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, zbliżając się do kwadratu „błyskającego" (pomarańczowego). Gdy świetlik przysiada na tym kwadracie, emituje błysk światła, co przybliża chwilę zabłyśnięcia pozostałych (linie niebieskie).
Kilka etapów gry pominięto (linie szare).

U świetlików oscylacje wywołuje mechanizm nazywany „wyzwalaniem po całkowaniu". W takim systemie pewna wielkość narasta (czyli rośnie faza) do osiągnięcia wartości progowej. Jej przekroczenie jest jak pociągnięcie za spust, wywołuje nagłą reakcję (w przypadku świetlików błysk), po czym wartość spada do zera i ponownie zaczyna narastać.

Co jest odpowiedzialne za synchronizację? Obserwacje w warunkach naturalnych i laboratoryjnych wskazują, że gdy pewne świetliki zauważą błysk, pobudzają się i ich faza nagle się zwiększa - przesuwa bliżej wartości progowej.

Oscylatory tego typu nazywa się sprzężonymi, co oznacza, że jeden z nich wpływa na pozostałe. Klasycznym przykładem są dwa zegary wahadłowe stojące na tej samej półce, które oddziałują na siebie poprzez jej wibrację. Opisał to wielki holenderski fizyk Christiaan Huygens. Oddziaływanie często doprowadza do synchronizacji oscylatorów. Dlaczego tak się dzieje, to zagadka dla ciekawych. (Zauważmy, że sprzężone oscylatory nie zawsze się synchronizują. Przykładem są nogi idącego zwierzęcia. Każda z nich jest oscylatorem, a sprzęga je korpus stworzenia, zwykle jednak nie poruszają się wszystkie jednocześnie.)

Pierwszy krok w kierunku zrozumienia tego zjawiska poczynił fizjolog Charle  S. Peskin. W roku 1975 w studium poświęconym synchronizacji włókien mięśnia sercowego wprowadził szczegółowy model oscylatora wyposażonego w mechanizm wyzwalania po całkowaniu; praca zawierała równanie opisujące, jak wzrasta faza. Można je zastosować do świetlików - badania fizjologów wskazują, że jest to sensowny, choć niezbyt dokładny opis ich cyklu świecenia. Ważnym elementem modelu Peskina jest „impulsowe sprzężenie" oscylatorów - oscylator oddziałuje na pozostałe tylko w momencie wyzwolenia. Wysyła on wtedy do sąsiadów sygnał, co gwałtownie zwiększa fazę ich cyklu. Jeśli w wyniku tego wzrostu faza innego oscylatora przekroczy wartość progową, nastąpi również jego wyzwolenie i proces się powtórzy.

Okazuje się, że związki chemiczne niektórych świetlików tak właśnie reagują na impulsy wysyłane przez inne świetliki. Gdy świetlik widzi błysk innego, zostaje pobudzony, co przybliża go do wartości progowej. Peskin udowodnił, że gdy dwa jednakowe sprzężone oscylatory wyzwalane po całkowaniu spełniają jego równanie, to niemal zawsze w końcu się zsynchronizują. (Dla bardzo szczególnych warunków początkowych oscylatory się nie zsynchronizują, lecz ich fazy będą przeciwne. Taki stan jest bardzo niestabilny - może go zniszczyć najmniejsze zaburzenie.)

Peskin zasugerował również, że to twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego układu sprzężonych oscylatorów wyzwalanych po całkowaniu. W pracy z roku 1990 Renato E. Mirollo i Steven H. Strogatz udowodnili, że miał rację, nawet jeśli model jest opisany bardziej ogólnym równaniem. Wykazali, przyjmując kilka sformułowanych przez nich „technicznych" założeń, że w systemie o dowolnej liczbie impulsowo sprzężonych każdy z każdym oscylatorów wyzwalanych po całkowaniu, oscylatory prawie na pewno się zsynchronizują. (I znów istnieje rzadko występujący zbiór warunków początkowych, dla których oscylatory znajdą się w fazach przeciwnych; stan jest jednak bardzo niestabilny.)

Dowód opiera się na zjawisku zwanym absorpcją, do którego dochodzi, gdy dwa oscylatory o różnych fazach się synchronizują i od tej pory pozostają już w jednakowej fazie. Ponieważ sprzęganie jest w pełni symetryczne (tzn. każdy oscylator wpływa na wszystkie pozostałe w taki sam sposób), grupa oscylujących już jednakowo elementów nie utraci synchronizacji. Matematycznie można udowodnić, że ciąg takich absorpcji musi doprowadzić do synchronizacji wszystkich oscylatorów. 

Po lewej:

Tetsuro Kawahara, Inżynier i miłośnik zagadek geometrycznych z Amagasaki w Japonii, odkrył lepsze rozwiązanie zagadki omawianej w „Sprzężeniu" we wrześniu 1997 i w październiku 1998 roku. Zadanie polegało na znalezieniu największego obszaru wypukłego, który da się podzielić na trójkąty równoboczne o długościach boków będących liczbami całkowitymi względnie pierwszymi. Dla 15 trójkątów Kawahara znalazł piękny wzór w postaci wiru (z prawej) o polu 4782 jednostek, czyli nieco większym niż pole wzoru z poprzedniego rozwiązania - 4751 jednostek. (Za jednostkę powierzchni przyjmujemy pole trójkąta równobocznego o boku długości 1.) Kawahara zwrócił także uwagę, że pole podanego wzoru złożonego z 11 trójkątów jest równe 495, a nie 496.

Możesz zbadać to zjawisko na bardzo prostym modelu - jednoosobowej grze Flash (Błysk), w której przesuwa się pionki po obwodzie kwadratu, na przykład szachownicy 8x8, planszy do gry w Monopol o rozmiarach 10 x 10 lub zwyczajnym wykonanym własnoręcznie kwadracie 6x6 [ilustracja na poprzedniej stronie]. W grze używa się tylko kwadratów położonych na brzegu planszy, z których jeden z narożnych [pomarańczowy] jest progowym, czyli „błyskającym". Cztery boki kwadratu są oznaczone kolejno liczbami 1,2,3 i 4 w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, począwszy od kwadratu błyskającego. Kilka pionków reprezentujących świetliki umieszcza się na planszy losowo. Pozycja świetlika wskazuje jego przesunięcie fazowe: im bliżej (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) pionek ma do kwadratu błyskającego, tym jest bliżej wartości progowej. Osiąganie przez świetlika wartości progowej, błyskanie i uzupełnianie zapasu substancji chemicznych odbywa się zgodnie z następującymi regułami:

KROK 1. Wszystkie świetliki przesuwają się o jeden kwadrat zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Mimo że przesuwasz naraz tylko jednego owada, wyobrażasz sobie, że czynisz to ze wszystkimi równocześnie. (Ten krok obrazuje przyrost fazy.)

KROK 2. Jeśli jakiś świetlik wylądował na kwadracie błyskającym, pozostałe przesuwają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara o liczbę kwadratów równą numerowi boku, na którym się znajduje każdy z nich. Na przykład świetlik z boku numer trzy przesunie się o trzy kwadraty do przodu. Żaden świetlik nie może jednak minąć kwadratu błyskającego - zatrzymaj go na tym kwadracie. (Ten krok obrazuje impulsowe sprzężenie. Świetliki zauważają błysk jednego z nich i zbliżają się do wartości progowej. Świetliki o większym przesunięciu fazowym przeskakują o większą liczbę kwadratów, co odpowiada rzeczywistemu zachowaniu owadów.)

KROK 3. Jeżeli jakiś świetlik w kroku drugim ląduje na kwadracie błyskającym, idź na początek kroku drugiego i przesuń wszystkie pozostałe pionki zgodnie z instrukcją.

KROK 4. Wróć do kroku pierwszego.

Zauważ, że jeśli co najmniej dwa świetliki lądują na tym samym kwadracie, zostają zsynchronizowane i powinny być od tej pory przesuwane jako jeden pionek. W naszym przykładzie czynią tak dwa świetliki. Jeśli będziesz kontynuował grę, zobaczysz, że w końcu wszystkie świetliki będą przesuwać się razem.

Podejrzewam, że pewne rozmiary planszy dadzą takie warunki początkowe, które doprowadzą do okresowego zachowania antysynchronicznego, odpowiadającego stanom niestabilnym w teorii Mirolla-Strogatza. Gra Rash jest modelem o skończonej liczbie stanów podobnym do modelu badanego przez Mirolla i Strogatza, ale prostszym od niego, i może nie zachowywać się dokładnie w taki sam sposób. Zbadajcie to i powiadomcie mnie o wynikach.

Autor: Ian Stewart

Ważne linki dotyczące autora:
.
Literatura uzupełniająca:
.
Multimedia:
.
.

Zachęcamy do dyskusji na temat podanych w artykule treści
oraz wklejania linków do materiałów multimedialnych.
Redakcja